推しの積分

私の推しの積分ガンガン挙げていきます

tanx の積分【推しの積分10】

\tan{x} の様々な積分を計算していきます.

 \tan{x} で検索する人が多いので  \tan{x} で記事書けばアクセス伸びるやろ

て思ったので、書きました.

 \tan{x}

単純に  \tan{x} 積分はこんな感じです.

ただの  \tan{x} のくせに一筋縄ではいかないのが腹立ちますね.

\begin{eqnarray*}
\int \tan{x} \, dx &=& \int \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \, dx \\
&=& -\int \dfrac{(\cos{x})'}{\cos{x}} \, dx \\
&=& -\log{|\cos{x}|} + C
\end{eqnarray*}

 {\tan^{2}{x}}

2乗しました. 三角関数は2乗があるほうが様々な変形が考えられますしね.

\begin{eqnarray*}
\int \tan^{2}{x} \, dx &=& \int \left( \dfrac{1}{\cos^{2}{x}}-1 \right) \, dx \\
&=& \tan{x} - x + C
\end{eqnarray*}

 \tan^{3}{x}

3乗しました. 奇数乗になったので変形どうしようかなと思いますが、

 \tan{x} \tan^{2}{x} 積分できるので、部分積分すればいいですね.

\begin{eqnarray*}
\int \tan^{3}{x} \, dx &=& \int \tan^{2}{x}\tan{x} \, dx \\
&=& (\tan{x}-x) \tan{x} -\int (\tan{x}-x) \dfrac{1}{\cos^{2}{x}} \, dx \\
&=& \tan^{2}{x} - x\tan{x} - \dfrac{1}{2}\tan^{2}{x} + \int \dfrac{x}{\cos^{2}{x}} \, dx \\
&=& \dfrac{1}{2}\tan^{2}{x} -x\tan{x} + x\tan{x} -\int \tan{x} \, dx \\
&=& \dfrac{1}{2}\tan^{2}{x} + \log{|\cos{x}|} + C
\end{eqnarray*}

 \tan^{n}{x}

n乗しました. こういうnに関する積分は往々にして漸化式を作ります.

その漸化式がちゃんと解けるのかとかは別問題ですが、

これはどうでしょうか.

 \displaystyle I_n = \int \tan^{n}{x} \, dx

とします.

\begin{eqnarray*}
I_n &=& \int \tan^{n}{x} \, dx \\
&=& \int \tan^{2}{x}\tan^{n-2}{x} \, dx \\
&=& (\tan{x}-x)\tan^{n-2}{x} - \int (\tan{x}-x)(n-2)\tan^{n-3}{x}\dfrac{1}{\cos^{2}{x}} \, dx \\
&=& \tan^{n-1}{x} -x\tan^{n-2}{x}- (n-2)\int \tan^{n-2}{x}\dfrac{1}{\cos^{2}{x}} \, dx + (n-2)\int \tan^{n-3}\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}x \, dx \\
&=& \tan^{n-1}{x} -x\tan^{n-2}{x}-\dfrac{n-2}{n-1}\tan^{n-1}{x} + (n-2)\left( \dfrac{1}{n-2}x\tan^{n-2}{x} - \dfrac{1}{n-2}\int \tan^{n-2}{x} \, dx \right) \\
&=& \dfrac{1}{n-1}\tan^{n-2}{x} -\int \tan^{n-2}{x} \, dx \\
&=& \dfrac{1}{n-1}\tan^{n-2}{x} - I_{n-2}
\end{eqnarray*}

2行目から3行目は  \tan^{2}{x}積分に部分積分をしていて

4行目から5行目は  \tan^{n-3}{x}\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}積分に部分積分をしています.

あと、他サイトで  \tan^{2}{x} = \dfrac{1}{\cos^{2}{x}} - 1 を2行目に使ってちょちょいとやってのけているのを見かけましたが、

なるほどこれが一番早いなと思いましたが、こういう回りくどいやり方もいいんじゃないでしょうか(いいわけ).

ちなみに

こんなマニアックな問題も過去に取り上げました.

intvoyager.hatenadiary.jp




みんなが調べることはみんながすでに記事にしていて

僕の出番はないようですが、

それでも僕は書き続けます.

こういうのはやり続けた者にしかわからない(進撃の巨人面白い)