log(sinx)の定積分【推しの積分3】
一見積分できなさそうなこの
は実は計算することができます.
解答
それではさっそく...とその前に、【推しの積分2】で紹介した公式を少し変形します.
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi} xf(\sin{x})\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin{x})\,dx
\end{equation*}において、
\begin{equation*}
I = \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx +\frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(\sin{x})\, dx
\end{equation*}
であって、
\begin{eqnarray*}
I &=& \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx +\frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(\sin{(\pi-t)})\,(-1) dt \\
&=& \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx +\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{t})\, dt \\
&=& \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx
\end{eqnarray*}と変形できます.
それでは少し形を変えた上のバージョンを用いて本命の を計算していきます.
\begin{equation*}
\int_0^{\pi} xf(\sin{x})\,dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx
\end{equation*}
をもちいると、 は:
\begin{eqnarray*}
J = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} x\log{(\sin{x})}\, dx
\end{eqnarray*}
と書けます.次にこれにおいて、 と置きます:
は:
\begin{eqnarray*}
J &=& \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2t\log{(\sin{2t})}\, 2dt \\
&=& \frac{4}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\log{(2\sin{t}\cos{t})}\, dt \\
&=& \frac{4}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\left\{ \log{2}+\log{(\sin{t})} + \log{(\cos{t})} \right\}\, dt \\
\end{eqnarray*}
第1項目は です.第2項目以降ですが、第3項目において と置くと:
であり、
\begin{eqnarray*}
&& \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\log{(\cos{t})} \, dt \\
&=& \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \left(\frac{\pi}{2}-u \right) \log{ \left\{ \cos{ \left( \frac{\pi}{2}-u \right) } \right\} }\,(-1)du \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2}-u \right)\log{(\sin{u})}\, du
\end{eqnarray*}
したがって第2項目と打ち消しあう部分があり、最終的に:
\begin{equation*}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log{(\sin{t})}\, dt =\dfrac{\pi}{2}\log{2} +2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log{(\sin{t})}\, dt
\end{equation*}
\begin{equation*}
\therefore J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log{(\sin{t})}\, dt =-\dfrac{\pi}{2}\log{2}
\end{equation*}
となります.(ちなむとこれは広義積分です. 部分積分をしてみると発散する積分がでてきて詰みます.)
はいさい3本目!
— ハドロン@推しの積分 (@intvoyager) 2020年12月19日
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鬼滅の刃はやりまくってますがまだ見てないです
意地でも見てやらんとか思ってます.
ダサいなあ僕