推しの積分

私の推しの積分ガンガン挙げていきます

log(sinx)の定積分【推しの積分3】

一見積分できなさそうなこの

\displaystyle I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin{x})\, dx

は実は計算することができます.

f:id:voyagerstar:20201216024349p:plain
log(sinx)のグラフ.
解答

それではさっそく...とその前に、【推しの積分2】で紹介した公式を少し変形します.

intvoyager.hatenadiary.jp

\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi} xf(\sin{x})\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin{x})\,dx 
\end{equation*}

において、

\begin{equation*}
I = \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx +\frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(\sin{x})\, dx
\end{equation*}

のように積分区間をわけます. 2項目で x=\pi-t と置換すると:

dx =-dt

x \frac{\pi}{2} \rightarrow \pi
t \frac{\pi}{2} \rightarrow 0

であって、

\begin{eqnarray*}
I &=& \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx +\frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(\sin{(\pi-t)})\,(-1) dt \\
&=& \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx +\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{t})\, dt \\
&=& \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx
\end{eqnarray*}

と変形できます.

それでは少し形を変えた上のバージョンを用いて本命の  J を計算していきます.

\begin{equation*}
\int_0^{\pi} xf(\sin{x})\,dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x})\, dx
\end{equation*}

をもちいると、 J は:

\begin{eqnarray*}
J = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} x\log{(\sin{x})}\, dx
\end{eqnarray*}

と書けます.次にこれにおいて、 x = 2t と置きます:

dx =2dt

x 0 \rightarrow \pi
t 0 \rightarrow \frac{\pi}{2}

Jは:

\begin{eqnarray*}
J &=& \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2t\log{(\sin{2t})}\, 2dt \\
&=& \frac{4}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\log{(2\sin{t}\cos{t})}\, dt \\
&=& \frac{4}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\left\{ \log{2}+\log{(\sin{t})} + \log{(\cos{t})} \right\}\, dt \\
\end{eqnarray*}

第1項目は \dfrac{\pi}{2}\log{2} です.第2項目以降ですが、第3項目において t = \dfrac{\pi}{2}-u と置くと:

dt =-du

t 0 \rightarrow \frac{\pi}{2}
u \frac{\pi}{2} \rightarrow 0

であり、

\begin{eqnarray*}
&& \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\log{(\cos{t})} \, dt \\
&=& \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \left(\frac{\pi}{2}-u \right) \log{ \left\{ \cos{ \left( \frac{\pi}{2}-u \right) } \right\} }\,(-1)du \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2}-u \right)\log{(\sin{u})}\, du
\end{eqnarray*}

したがって第2項目と打ち消しあう部分があり、最終的に:

\begin{equation*}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log{(\sin{t})}\, dt =\dfrac{\pi}{2}\log{2} +2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log{(\sin{t})}\, dt
\end{equation*}

\begin{equation*}
\therefore J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log{(\sin{t})}\, dt =-\dfrac{\pi}{2}\log{2}
\end{equation*}

となります.(ちなむとこれは広義積分です. 部分積分をしてみると発散する積分がでてきて詰みます.)



鬼滅の刃はやりまくってますがまだ見てないです

意地でも見てやらんとか思ってます.

ダサいなあ僕