推しの積分

私の推しの積分ガンガン挙げていきます

sin(logx) の積分【推しの積分4】

【推しの積分3】で \log{(\sin{x})} の定積分を計算しましたが、逆はどないですのん?という疑問にお答えして、
\begin{equation*}
I = \int \sin{(\log{x})}\, dx
\end{equation*}
の計算をしていきます.簡単です.

intvoyager.hatenadiary.jp

解答

t = \log{x} \Leftrightarrow x = e^t と置きます.  dx = e^tdt で、

\begin{equation*}
I = \int e^t\sin{t}\, dt
\end{equation*}

はい、ド定番の積分になりました. これはやり方が2種類ありましたよね. 一つは部分積分を2回行うやつ、もう一つは e^t\cos{t} も用意して微分して足すやつ.
私は部分積分でいつもやっていました.なのでそうします.指数を積分、三角を微分します. 符号間違いに気を付けて:

\begin{eqnarray*}
I &=& \int e^t\sin{t}\, dt \\
&=& e^t\sin{t} - \int e^t\cos{t}\, dt \\
&=& e^t(\sin{t}-\cos{t}) -\int e^t\sin{t}\, dt \\
&=& e^t(\sin{t}-\cos{t}) - I \\
\end{eqnarray*}

ということで t = \log{x} を戻してあげると:

\begin{equation*}
I = \dfrac{x}{2}\{\sin{(\log{x})}-\cos{(\log{x})}\} +C
\end{equation*}

積分定数は忘れないでね!



友達にアルミホイルを頑張ってつぶすと核融合が起きて鉄になると言ったら信じてくれませんでした