log(1+tanx) の積分【推しの積分5】

対数&三角シリーズ続きます.

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今回の積分はこれです：

$\displaystyle I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log{(1+\tan{x})}\, dx$

解答

$x = \dfrac{\pi}{4}-t$ と置きます.

$dx = -dt$

$x$	$0$	$\rightarrow$	$\frac{\pi}{4}$
$t$	$\frac{\pi}{4}$	$\rightarrow$	$0$

であって、

\begin{eqnarray*}
I &=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log{(1+\tan{x})}\, dx \\
&=& \int_{\frac{\pi}{4}}^0 \log{ \left( 1+\tan{ \left( \dfrac{\pi}{4}-t \right) } \right) }\, (-1)dt \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log{ \left( 1+\dfrac{\tan{\frac{\pi}{4}}-\tan{t}}{1+\tan{\frac{\pi}{4}}\tan{t}} \right) }\, dt \,\,\,\,(加法定理)\\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log{ \left( 1+\dfrac{1-\tan{t}}{1+\tan{t}} \right) }\, dt \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log{ \left( \dfrac{2}{1+\tan{t}} \right) }\, dt \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \{ \log{2} - \log{(1+\tan{t})} \}\, dt \\
&=& \dfrac{\pi\log{2}}{4} - I
\end{eqnarray*}

となって再び $I$ が表れて、答えは：