1/(x^4+4) の(不)定積分【推しの積分9】
今回の記事は
の計算をしていきます.
まぁまぁ面倒ですがやっていきまーしょうっ！
解答
まず ですが、これを因数分解します. え？：
\begin{eqnarray*}
x^4+4 &=& x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 \\
&=& (x^2 + 2)^2 -(2x)^2 \\
&=& (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
\end{eqnarray*}
おっふ、ではこれを用いて部分分数分解をします :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{x^4+4} &=& \dfrac{Ax+B}{x^2+2x+2} + \dfrac{Cx+D}{x^2-2x+2} \\
&=& \dfrac{(Ax+B)(x^2-2x+2)+(Cx+D)(x^2+2x+2)}{x^4+4} \\
&=& \dfrac{(A+C)x^3+(-2A+B+2C+D)x^2+2(A-B+C+D)x+2(B+D)}{x^4+4}
\end{eqnarray*}
ここで分子を比較して、
となり、結局：
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{x^4+4} &=& \dfrac{1}{8}\left( \dfrac{x+2}{x^2+2x+2} - \dfrac{x-2}{x^2-2x+2} \right) \\
&=& \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2} - \dfrac{2x-2}{x^2-2x+2} \right) + \dfrac{1}{8}\left( \dfrac{1}{x^2+2x+2} + \dfrac{1}{x^2-2x+2} \right) \\
&=& \dfrac{1}{16}\left\{ \dfrac{(x^2+2x+2)'}{x^2+2x+2} - \dfrac{(x^2-2x+2)'}{x^2-2x+2} \right\} + \dfrac{1}{8}\left( \dfrac{1}{x^2+2x+2} + \dfrac{1}{x^2-2x+2} \right) \\
\end{eqnarray*}
と変形できます. 最後は 一発型にしたいのでこうしました.
故に求める積分は
\begin{eqnarray*}
I &=& \dfrac{1}{16} \int \left\{ \dfrac{(x^2+2x+2)'}{x^2+2x+2} - \dfrac{(x^2-2x+2)'}{x^2-2x+2} \right\}\, dx + \dfrac{1}{8}\int \left( \dfrac{1}{x^2+2x+2} + \dfrac{1}{x^2-2x+2} \right)\, dx \\
&=& \dfrac{1}{16}\log{\dfrac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}} + \dfrac{1}{8}\int \left\{ \dfrac{1}{(x+1)^2+1} + \dfrac{1}{(x-1)^2+1} \right\}\, dx \\
&=& \dfrac{1}{16}\left\{ \log{\dfrac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}} + 2\tan^{-1}{(x+1)} + 2\tan^{-1}{(x-1)}\right\} + C
\end{eqnarray*}
です. 最後を一気にしすぎてしまいましたかね.
は覚えときましょう.
分母の4が1でもできますが因数分解で根号がでたりして面倒なのでやめました.
分子も8か16にしてわかりやすくしようと思ったんですが不自然なのでやめました.
