ガウス積分(+応用)(複素数)【推しの積分6】

正規分布にガウス波束など、
今回はさまざまな場面で現れるガウス積分について書いていきます！

基本形
- 証明
亜種1
- 証明
亜種2
- 証明
亜種3
- 証明(更新中)
亜種4(多項式倍)
応用

基本形

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\, dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} \,\,\,\,(a>0)$

についてまずは証明したいと思います.

証明

\begin{eqnarray*}
\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-a(x^2+y^2)} dS &=& \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\infty} dr\,re^{-ar^2} \\
&=& 2\pi \left[ -\dfrac{1}{2a}e^{-ar^2} \right]_0^{\infty}\\
&=& \dfrac{\pi}{a}
\end{eqnarray*}

一方でこの積分は累次積分ができて、

\begin{eqnarray*}
\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-a(x^2+y^2)} dS &=& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\, dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ay^2}\, dy \\
&=& \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\, dx\right)^2
\end{eqnarray*}

故に
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\, dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}
\end{equation*}

偶関数なので、
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\, dx = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} \,\,\,\,(a>0)$
が当然成り立ちます.

亜種1

実数 $a(>0),b,c$ に対して、
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2+bx+c}\, dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\, \exp{\left(\dfrac{b^2}{4a}+c\right)} \,\,\,\,(a>0)$

証明

\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2+bx+c}\, dx　&=& \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left\{-a\left( x-\dfrac{b}{2a} \right)^2+\dfrac{b^2}{4a}+c\right\}}\, dx \\
&=& \exp{\left( \dfrac{b^2}{4a}+c \right)} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left\{-a\left( x-\dfrac{b}{2a} \right)^2\right\}} \, dx \\
&=& \exp{\left( \dfrac{b^2}{4a}+c \right)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx \\
&=& \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,\exp{\left( \dfrac{b^2}{4a}+c \right)}
\end{eqnarray*}

指数部分を平方完成した後、平行移動して基本形に帰着させればよいですね.

ここで一息. この記事は数式を埋め込みすぎて激重なので、、、

亜種2

複素数 $\zeta \, (\mathrm{Re}(\zeta)>0)$ に対して、
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\zeta x^2}\, dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{|\zeta|}}\, \exp{\left(-i\dfrac{\mathrm{Arg}\zeta}{2}\right)} = \sqrt{\dfrac{\pi}{\zeta}}$

証明

バッチリ複素積分です. 当たり前ですね. はぁ...

偶関数の積分なので

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-\zeta x^2}\, dx = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\zeta}}$

だけを示しますね.

$\zeta \, (\mathrm{Re}(\zeta)>0)$ の条件がついているのは収束性の問題です. 実部がゼロのときも収束することはありますが、特別な場合のみです(フレネル積分).

さて、積分中の $x$ を複素数 $z$ に変更して適切な閉曲線 $C$ で積分しましょう. このとき $\mathrm{Arg}\zeta>0$ としておきます.

偏角が負の時も経路を上半面にとれば同じように計算できます.

図のような経路 $C = C_1+C_2+C_3$ を考えましょう：

$C_1 : z = t \,\,\,\,\,\, :0 \leq t \leq R$
$C_2 : z = Re^{i\theta} \,\,\,\,\,\, :-\dfrac{\mathrm{Arg}\zeta}{2} \leq \theta \leq 0$
$C_3 : z = t\exp{ \left(-i\frac{\mathrm{Arg}\zeta}{2}\right)} \,\,\,\,\,\, :R \leq t \leq 0$

f:id:voyagerstar:20201220075508p:plain — 経路：作るのめんどい

$C$ での積分はコーシーの積分定理から $0$ です. $R \rightarrow \infty$ とすることを念頭に置くと、 $C_1$ 上の積分は求めたい積分に相当します.

加えて、 $C_2$ での積分は $0$ に収束します：

\begin{eqnarray*}
& & \lim_{R\rightarrow \infty}\,\, \left\{ \max_{-(\mathrm{Arg}\zeta)/2\leq \theta \leq 0} \biggl| R\exp{\left(-\zeta R^2e^{2i\theta}\right)}\biggl| \right\} \\
&=& \lim_{R\rightarrow \infty}\,\, \left\{ \max_{-(\mathrm{Arg}\zeta)/2\leq \theta \leq 0} \biggl| R \exp{ \left[ -R^2 \left\{ \mathrm{Re}( \zeta ) \cos{2\theta }- \mathrm{Im} ( \zeta ) \sin{2 \theta} \right\} -iR^2 \left\{ \mathrm{Re}( \zeta ) \sin{2\theta }+\mathrm{Im} ( \zeta ) \cos{2 \theta} \right\} \right] } \biggl| \right\} \\
&=& \lim_{R\rightarrow \infty}\,\, \left\{ \max_{-(\mathrm{Arg}\zeta)/2\leq \theta \leq 0} \biggl| R \exp{ \left[ -R^2 \left\{ \mathrm{Re}( \zeta ) \cos{2\theta }- \mathrm{Im} ( \zeta ) \sin{2 \theta} \right\} \right] } \biggl| \right\} \,\,\, ( \because \forall \phi \in \mathbb{R} \Rightarrow |e^{i\phi}| = 1 )\\
&=& \lim_{R\rightarrow \infty}\,\, \left\{ \max_{-(\mathrm{Arg}\zeta)/2\leq \theta \leq 0} \biggl| R \exp{ \left\{ -R^2 |\zeta|\sin{\left( 2\theta + \mathrm{Arg}\zeta + \dfrac{\pi}{2} \right) } \right\} }\biggl| \right\} \,\,\, \\
&=& \lim_{R \rightarrow \infty}\,\, R e^{ -\mathrm{Re}(\zeta)R^2} \,\, (\theta = 0 )\\
&=& 0 \,\,\, (\because \mathrm{Re}(\zeta) > 0)
\end{eqnarray*}

かなりややこしい計算ですがじっくり触ってみてください.

一行目から二行目では $\zeta = \mathrm{Re}(\zeta) + i\mathrm{Im}(\zeta)$ と書き換えて変形しています.

三行目から四行目では三角関数の合成を行っています：

\begin{eqnarray*}
-\mathrm{Im}(\zeta)\sin{2\theta}+\mathrm{Re}(\zeta)\cos{2\theta} &=& |\zeta|\left\{ \cos{\left( \mathrm{Arg}\zeta+\dfrac{\pi}{2} \right)}\sin{2\theta}+\sin{\left( \mathrm{Arg}\zeta+\dfrac{\pi}{2} \right)}\cos{2\theta}\right\} \\
&=& |\zeta|\sin{\left( 2\theta + \mathrm{Arg}\zeta + \dfrac{\pi}{2} \right)}
\end{eqnarray*}

最大となるのは $\sin{\left( 2\theta + \mathrm{Arg}\zeta + \dfrac{\pi}{2} \right)}\biggl|_{\theta=0} = \cos{\left( \mathrm{Arg}\zeta \right)} = \dfrac{\mathrm{Re}(\zeta)}{|\zeta|}$ のときです.

次に、 $C_3$ での積分を考えます：

\begin{eqnarray*}
\int_{C_3} e^{-\zeta z^2}\, dz &=& \int_R^0 \exp{\left( -|\zeta| e^{i\mathrm{Arg}\zeta}t^2 e^{ -i\mathrm{Arg}\zeta } \right) } \exp{\left( -i\frac{\mathrm{Arg}\zeta}{2} \right)}\, dt \\
&=& -\exp{\left( -i\frac{\mathrm{Arg}\zeta}{2} \right)} \int_0^R e^{-|\zeta|t^2}\, dt \\
&\rightarrow& - \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\zeta}} ,\,\,(R \rightarrow \infty)
\end{eqnarray*}

ということで $R \rightarrow \infty$ において：