xf(sinx)の積分【推しの積分2】

$\displaystyle \int_0^{\pi} xf(\sin{x})\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin{x})\,dx$
について書いていきたいと思います.

証明

$\displaystyle　I = \int_0^{\pi} xf(\sin{x})\,dx$

としましょう. $I$ において $x = \pi-t$ とおくと：

$dx =-dt$

$x$ $0$ $\rightarrow$ $\pi$

$t$ $\pi$ $\rightarrow$ $0$

であって、

\begin{eqnarray*}
I &=& \int_{\pi}^{0} (\pi-t)f(\sin{(\pi-t)})\,(-1)dt \\
&=& \pi \int_0^{\pi} f(\sin{t})\, dt - \int_0^{\pi} tf(\sin{t})\, dt \\
&=& \pi \int_0^{\pi} f(\sin{t})\, dt -I \\
\end{eqnarray*}

となって $I$ を移項して
\begin{equation*}
I = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin{x})\, dx
\end{equation*}

を得ます.

2本目はこれ！定番！

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— ハドロン@推しの積分 (@intvoyager) 2020年12月19日

楽勝だね!!